От теории педагогики к практике развития математических способностей учащихся

Теория без практики мертва,
а практика без теории слепа
(Аксиома мудрых)

Если образование отвечает на вопрос "что учить", то педагогика – на вопрос "как учить". А и для первого и для второго архиважным есть точное знание внутреннего личностного базиса школьника как основы работы с предметом.

Рассмотрим внутренние факторы образовательно-педагогической "сцепки" в области математики.

Математические способности проявляются в том, с какой скоростью, как глубоко и насколько прочно люди усваивают математический материал. Эти характеристики легче всего обнаруживаются в ходе решения задач. О скорости можно судить по количеству заданий, решенных учеником за определенный отрезок времени, а также по времени, которое требуется разным школьникам для решения одной и той же задачи. Прочность усвоения учебного материала устанавливается по результатам так называемых отсроченных проверок, выявляющих ту часть из ранее разобранных задач, которую ученик может решить сегодня. Глубина усвоения определяется тем, умеет ли ученик преобразовать для собственных нужд прием учебной работы, объясненный ранее учителем. Каждая из названных характеристик (скорость, глубина, прочность) не является обязательным и единственным показателем развитых математических способностей. Но если хотя бы одна из них представлена в достаточной мере, то можно утверждать о существовании у индивидуума математических способностей. "Пики" математических способностей выявляются в случаях, когда в ходе тестирования обнаруживается яркие признаки наличия всех трех указанных характеристик.

Способности проявляются и могут развиваться только в процессе деятельности. Математическая деятельность учащихся заключается в освоении математического "инструментария", поэтому у школьников можно развивать только учебно-практические математические способности.

Выделяются три компонента математических способностей: алгоритмический, геометрический и логический:

- под алгоритмическим, или вычислительным, понимают способности, проявляющиеся, например, при разложении многочленов на множители, решении уравнений, преобразовании выражений и т.д.;

- геометрический компонент включает в себя способности к пространственным представлениям и к введению геометрической наглядности при изучении математических проблем;

- под логическими способностями понимается "искусство последовательного, правильно расчлененного логического рассуждения".

Проблемы отбора задач и построения методики, ориентированной на математическое развитие учащихся, требуют более детального рассмотрения структуры математических способностей.

Рассмотрим детализацию компонентов математических способностей. Под геометрическим компонентом способностей следует понимать:

а) способность извлекать необходимую информацию из заданной конфигурации путем ее анализа или дополнения, включая поиск идеи решения задач с помощью рисунков, моделей фигур или мысленного представления;

б) способность к переводу на язык геометрии той или иной задачи и обращение к наглядным образам в процессе решения геометрических задач.

Алгоритмические способности включают в себя:

а) способность принять известные алгоритмы и методы в конкретной ситуации;

б) способность свести задачу к выполнению конечной цели более элементарных действий;

в) способность довести до конца намеченный план решения, применяя аналитические методы, относящиеся к алгебре, тригонометрии, векторной алгебре или анализу.

Логические способности выражаются в вычислении (из некоторого общего положения) и исследовании всех частных случаев, в создании экономной и непротиворечивой схемы решения задачи, в проведении доказательных рассуждений, использующих, в частности, прием доказательства от «противного», обращение к контрприему, продвижение при решении задач «от конца к началу» и другие приемы.

Рассмотрим наиболее существенные принципы работы по развитию математических способностей учащихся, которые можно реализовать как на уроках, так и на внеклассных занятиях.

Принципы активной самостоятельной деятельности учащихся

Он требует от учителя вводить теоретический материал на лекции довольно крупными порциями, тем самым быстро осознается потребность в достаточно полной информации, системе фактов, необходимых для решения задач по данной теме. Но после этого нужно одно или несколько занятий (практических) отвести полностью на решение задач. Лучше ребятам сразу сообщить номера (или тексты) всех задач, которые будут решены на уроке. Класс работает самостоятельно. Сильные учащиеся при этом загружены всё занятие. Часть класса справляется с меньшим числом заданий, но при этом тоже работает самостоятельно. Роль учителя сводится не только к выборочному текущему контролю, а и системной помощи в тех эпизодах самостоятельной работе, в которых ученик встречает непреодолимую трудность.

Принцип учета индивидуальных и возрастных особенностей учащихся предполагает наличие у учителя четких представлений о возможностях каждого ученика, о динамике роста его потенциала. С учетом этой динамики нужно предлагать индивидуальные задачи. Они должны быть доступными для учащихся средних возможностей. Тем самым эти учащиеся предохраняются от обескураживающего действия неудачи. В то же время более способные ребята требуют трудных задач, на которых они могут испытать свои умственные силы. Подготовка индивидуальных заданий требует от учителя широкой «задачной эрудиции».

К методическим средствам реализации указанного принципа относятся краткие содержательные обсуждения идей и методов решения. Учащиеся должны понимать, что усвоения нового метода способствует успеху в большей мере, нежели доведенное до конца «кустарное» решение. Кроме того, ученики сами могут выбрать себе задания для перехода на более высокий уровень.

Принцип постоянного внимания к развитию различных компонентов математических способностей заставляет отметить сложность проявления этих способностей. Наибольший успех и продвижение вперед возможны при достаточном внимании ко всем компонентам математических способностей. Достигается это с помощью правильного подбора тематических задач, рассмотрения различных подходов к решению одной и той же задачи. Полезны приемы, направленные на повышение удельного веса геометрических, наглядных соображений. Они экономят время урока, так как наглядность может заменить и словесную формулировку условия, и подробную запись решения.

Рассматривая задачи, доступные учащимся, нельзя забывать о принципе профессионализма. Он требует, чтобы школьники уверенно владели системой опорных задач. Для этого нужна ежедневная работа по закреплению навыков, повторению ключевых идей и методов. Кроме этого необходимо следовать принципу яркости. Это означает, что занятия должны быть разнообразны по форме и интересны по содержанию. Свою подлинную увлеченность предметом учитель может продемонстрировать подбором красивых и разнообразных задач, рассказами из истории математики.

В заключение можно отметить, что развитие у учащихся математических способностей напрямую зависит от личности учителя. Если школьникам не интересно с ним, если они не почувствуют роста своих возможностей, то большая часть учеников прекратит углубленные занятия математикой.

Понятно, что с уникальностью личности учителя расширяется и перечень принципов работы. При этом не исключено, что "скудный" перечень педагогических принципов деятельности самого учителя способствует становлению широкой столбовой дороги личностного математического развития его учащихся за счет уникальности подбора заданий и форм работы с математическим аппаратом самих учащихся. Прискорбным было бы, если бы класс все время восторгался бы неординарностью и талантом своего учителя, а сам оставался бы только в роли послушных и восхищенных "копирайтеров" его работы. Иногда молчание учителя бывает более обучающим, чем демонстрация «коктейля» из приёмов и принципов педагогики.

Валентина Коневская,
учитель-методист по математике физико-технического лицея г. Херсона.

Литература

Ведерникова Т. Н. , Иванов О. А. Интеллектуальное развитие школьников на уроках математики // Математика в школе - №3.-2002.
Венгер Л.А. Педагогика способностей. – М., 1973.
Выплов Ю. Развитие мыслительной деятельности учащихся. //Математика. – 2003 - №24.
Гайбуллаев Н.Р. Развитие математических способностей учащихся: метод. пособие для учителей. – Ташкент: Укитувчи, 1988.
Гингулис Э.Ж. Развитие математических способностей учащихся. //Математика в школе. – 1990 - №1.
Гнеденко Б.В. Развитие мышление и речи при изучении математики. //Математика в школе. – 1991 - №4.
Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. –?М.: Вербум-М: Академия, 2003.
Заиграев А.С. Психология математических способностей. –
Колмогоров А.Н. Математика - наука и профессия. М., 1988.
Кордемский Б.Л. Математическая смекалка. – 9-е изд., стер. –М.: Наука. Гл. ред. Физ.мат. Лит.,1991.
Кордемский Б.Л. Очерки о математических задачах на смекалку. – М.:Учпедгиз, 1958.
Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах: пособие для учителей. – Львов: “Квантор”, 1991.
Окунев А.А. Спасибо за урок, дети!: ..о развитии творческих способностей учащихся: Книга для учителя: Из опыта работы. – М.: Просвещение, 1988.
Салюкова С.В. Влияние системы заданий по математике на развитие математических способностей учащихся 7-9 классов. - http://www.bank.orenipk.ru/Text/t29_28.htm.
Сапожников В.М. Внешние и внутренние условия развития математических способностей. -
Сефибеков С.Р. Учитель, умей направлять ученика. //Математика в школе. – 1991 - №5.
Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: метод. пособие. – К.: Рад. школа, 1983.
Шадриков В.Д. О структуре познавательных способностей. //Психологический журнал – 1985 - №3.
Юркевич В.С. А. Н. Колмогоров и проблема развития математической одаренности. //Вопросы психологии – 2001 - № 3.
Якиманская И.С. Психологические основы математического образования: Учеб. Пособие для студ. пед. вузов. – М.:Издательский центр “Академия”, 2004.